Hvordan finder man arealet af en trekant? Alle formlerne

Arealet af en trekant er ½ × grundlinje × højde. Den formel virker på alle trekanter — spidse, stumpe, retvinklede og skæve. Det eneste, der kræver omtanke, er, hvad «højden» er: den skal stå vinkelret på grundlinjen, ikke bare være den længste side.

Grundformlen

A = ½ · h · g

En trekant med grundlinje 8 cm og højde 5 cm:

A = ½ · 5 · 8 = 20 cm²

Du kan bruge hvilken som helst af de tre sider som grundlinje — bare højden måles vinkelret ned på netop den side. Resultatet bliver det samme.

Højden er ikke en side

Det er den fejl, der koster flest point. Højden er afstanden fra det modstående hjørne vinkelret ned på grundlinjen. I en retvinklet trekant falder højden sammen med den ene katete — derfor virker det, at man bare ganger de to korte sider og halverer. I alle andre trekanter er højden en linje, der skal tegnes ind.

I en stump trekant kan højden endda ligge uden for trekanten. Det er stadig rigtigt: forlæng grundlinjen, og mål vinkelret ned på forlængelsen.

Retvinklet trekant

De to korte sider (kateterne) står vinkelret på hinanden, så de er hinandens grundlinje og højde:

A = ½ · a · b

Kateter på 6 og 8: A = ½ · 6 · 8 = 24

Mangler du en katete, men kender hypotenusen, bruger du Pythagoras: a² + b² = c².

Ligesidet trekant

Alle sider lige lange (s), alle vinkler 60°:

A = (s² · √3) ÷ 4

Med side 6: A = (36 · 1,732) ÷ 4 = 15,59

Højden i en ligesidet trekant er h = (s · √3) ÷ 2 — altså 5,196 ved side 6. Sætter du det ind i grundformlen, får du naturligvis det samme.

Ligebenet trekant

To sider lige lange. Højden fra toppunktet halverer grundlinjen, så du kan finde den med Pythagoras:

h = √(b² − (g÷2)²), hvor b er et af benene.

Ben på 10 og grundlinje 12: h = √(100 − 36) = √64 = 8. Areal = ½ · 8 · 12 = 48

Uden højden

Kender du to sider og vinklen imellem dem:

A = ½ · a · b · sin(C)

Sider på 7 og 9 med 40° imellem: A = ½ · 7 · 9 · 0,643 = 20,25

Kender du kun de tre sider, bruger du Herons formel. Sæt først s = (a + b + c) ÷ 2:

A = √(s · (s−a) · (s−b) · (s−c))

Sider på 5, 6 og 7 giver s = 9, og A = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216 = 14,7

Alle formlerne

Hvorfor halvdelen?

Fordi en trekant er halvdelen af et rektangel. Tegn en trekant, og tegn rektanglet omkring den med samme grundlinje og samme højde — trekanten fylder præcis halvdelen. Det gælder også for skæve trekanter, hvilket er lettest at se, hvis man deler dem op i to retvinklede trekanter.

Husker du det billede, behøver du aldrig huske formlen.

Enheder

• Areal måles i kvadratenheder: cm², m², km².
• Grundlinje og højde skal være i samme enhed. Er den ene i cm og den anden i meter, skal du omregne, før du ganger.
• Ganger du cm med cm, får du cm². Det er ikke pynt — det er en del af svaret.

Andre figurer

En vilkårlig mangekant kan altid deles op i trekanter. Det er den generelle metode, hvis figuren ikke passer på nogen af formlerne: del op, regn hver trekant for sig, læg sammen.

Se også, hvordan du finder omkredsen af en cirkel.