Hvordan finder man omkredsen af en trekant?
Omkredsen af en trekant er summen af de tre sider: O = a + b + c. Det er hele formlen, og den gælder for alle trekanter. Det svære er aldrig udregningen — det er at finde den side, opgaven ikke har givet dig.
Grundformlen
Sider på 5, 7 og 9 cm:
O = 5 + 7 + 9 = 21 cm
Enheden er en længdeenhed — cm, m, km. Ikke kvadratenheder; det er arealet.
Særlige trekanter
| Type | Formel | Eksempel |
|---|---|---|
| Vilkårlig | O = a + b + c | 4 + 6 + 8 = 18 |
| Ligesidet (alle sider ens) | O = 3 · s | 3 · 6 = 18 |
| Ligebenet (to sider ens) | O = 2 · b + g | 2 · 10 + 12 = 32 |
| Retvinklet | O = a + b + c | 3 + 4 + 5 = 12 |
Når en side mangler
Det er her, opgaverne bliver til noget. Fire situationer:
1. Retvinklet trekant — brug Pythagoras
a² + b² = c², hvor c er hypotenusen (den længste side, over for den rette vinkel).
Kateter på 6 og 8: c = √(36 + 64) = √100 = 10
Omkreds = 6 + 8 + 10 = 24
Mangler du en katete i stedet: a = √(c² − b²).
2. Du kender to sider og vinklen imellem — cosinusrelationen
c² = a² + b² − 2ab · cos(C)
Sider på 7 og 9 med 60° imellem:
c² = 49 + 81 − 2 · 7 · 9 · 0,5 = 130 − 63 = 67 → c = 8,19
Omkreds = 7 + 9 + 8,19 = 24,19
3. Du kender to vinkler og en side — sinusrelationen
a ÷ sin(A) = b ÷ sin(B) = c ÷ sin(C)
Find den tredje vinkel først: vinklerne i en trekant giver altid 180°. Brug så relationen til at finde de manglende sider.
4. Du kender arealet og højden
Grundlinjen findes med g = (2 · A) ÷ h. Derefter mangler du stadig de to andre sider — dem skal du have på anden vis, typisk gennem Pythagoras, hvis trekanten er retvinklet eller ligebenet.
Ligebenet trekant med kendt højde
Højden fra toppunktet halverer grundlinjen. Derfor:
b = √(h² + (g ÷ 2)²)
Grundlinje 12 og højde 8: b = √(64 + 36) = √100 = 10
Omkreds = 10 + 10 + 12 = 32
Kan tre længder overhovedet danne en trekant?
Ikke altid. Trekantsuligheden siger, at summen af to sider altid skal være større end den tredje:
- 2, 3 og 4 → 2 + 3 = 5 > 4. Kan lade sig gøre.
- 2, 3 og 8 → 2 + 3 = 5 < 8. Kan ikke lade sig gøre.
Får du et resultat, hvor det ikke passer, har du regnet forkert et sted.
Omkreds og areal er ikke det samme
| Omkreds | Areal | |
|---|---|---|
| Hvad | Vejen hele vejen rundt | Fladen indeni |
| Formel | a + b + c | ½ · h · g |
| Enhed | cm, m | cm², m² |
| Bruges til | Hegn, kantbånd, lister | Maling, gulv, græs |
To trekanter kan have samme omkreds og vidt forskelligt areal. En lang, flad trekant har stor omkreds og lille areal.
Andre figurer
- Kvadrat: O = 4 · s
- Rektangel: O = 2 · (l + b)
- Cirkel: O = 2 · π · r
- Mangekant: summen af alle sider
Se også, hvordan du finder arealet af en trekant og omkredsen af en cirkel.
Prøv selv
- Sider 3, 4 og 5 → 12
- Ligesidet med side 7 → 21
- Ligebenet med ben 13 og grundlinje 10 → 36
- Retvinklet med kateter 9 og 12 → hypotenuse 15, omkreds 36
Related Posts
Hvordan finder man arealet af en trekant? Alle formlerne
